La educación matemática a través de la historia. (Parte 2)

Temas: Matemática educativa, historia de las matemáticas, didáctica de las matemáticas, Hueso de Ishango, los inconmensurables, Babilonia, Egipto, Pitágoras, Eudoxo, Los Elementos de Euclides, Aplicación contra teoría.

De la prehistoria matemática a los elementos de Euclides.

Prehistoria.

Pickover en "El libro de las matemáticas" (2012) señala que en la cultura humana las matemáticas se remontan a las cuentas en nudos (nudos con los cuales se presume que se llevaba el conteo de animales) y el hueso de Ishango. Este último es un instrumento, aparentemente de conteo pero puede indicar un entendimiento mayor de matemáticas; el cual tiene la particularidad de tener muescas agrupadas en grupos de 60.  Estos objetos datan de entre 20 000 hasta 10 000 a. de n. e. Tomando estos restos y su posible aplicación, se puede deducir que las matemáticas en la cultura humana aparecen como herramientas de registro. En este contexto, las matemáticas tienen por objetivo mantener un registro de cantidades.

Mesopotamia

   Entre los ríos Tigris y Eufrates, en el periodo del 5000 a. c. hasta principios del cristianismo, se desarrollaron una serie de civilizaciones (Sumerios, Elmitas, Acadios, Cadeos, Asirios, Babilonios).  Todos ellos tenían una numeración común y habían logrado en conjunto desarrollar una matemática rica y compleja. Como ejemplos, se sabe que ellos utilizaban fracciones, resolvían raíces cuadradas y ecuaciones en una variable de hasta de octavo grado, tenían un valor aproximado de Pi, con él que podían sacar el volumen a prismas, pirámides y conos; además de dominar una trigonometría rudimentaria. La evidencia más contundente del uso de trigonometría se encuentra en la tablilla Plimpton 322 en la que se encuentran ternas pitagóricas y las cosecantes de algunos ángulos.  A estas civilizaciones tambien debemos la división del tiempo en horas minutos y segundos, basado en un sistema de numeración en base a 60. 

   

Egipto

La civilización Egipcia, surge a las orillas del rio Nilo alrededor del 5500 a. de n. e. con la aparición de pequeños asentamientos. Sin embargo, se considera que esta civilización comienza cuando estos asentamientos son unificados a partir del 3200 a. de n. e. bajo el régimen del faraón Menes.

En Egipto se estableció un sistema de numeración en base 10, este sistema de numeración era aditivo y utilizaba los siguientes símbolos:

Las matemáticas egipcias llegaron a un muy buen estado de desarrollo. Hoy en día sabemos que

• Conocían los números racionales y los representaban con fracciones unitarias.
• Tenían métodos de multiplicación y división, que se basaban en la duplicación y desdoblamiento . (Es decir, se hacian las operaciones en base binaria).
• Conocían la representación como sumas de hasta cuatro fracciones unitarias de fracciones de denominador hasta 100 (Papiro de Rhind)
• Sabían el método de la falsa posición para la solución de ecuaciones lineales de primer grado.
• Tenían una función llamada seqt, la cuál es parecida a lo que nosotros conocemos como pendiente.
• Manipulaban sucesiones aritméticas y geométricas.
• Utilizaban π = 3.16. 
• Sabían calcular el área de triángulos isósceles, paralelogramos, círculos.
• Tenían noción de la semejanza de triángulos. 
• Tenían una formula para el cálculo del volumen de una pirámide truncada

   Toda la matemática mesopotámica y egipcia se usaba para resolver problemas cotidianos de reparto y medida, tanto numérico como de áreas y astronómico. Así que es natural inferir que el enfoque de la matemática en estas tierras es meramente utilitario.

Pitágoras

Pitágoras de Samos, es quien forja la palabra matemática y dota a los números de “chispa divina”. El funda una secta en donde los números representaban a dios y a todo lo creado: los pitagóricos. Esta visión estaba sustentada en la idea de que todo se podía poner en término de números y se creía que para dos cantidades cualquiera, si se dividían ambas en porciones suficientemente pequeñas, podríamos obtener divisiones de ambas cantidades del mismo tamaño. Esta era la idea de la conmensurabilidad. 

En este tiempo y bajo el enfoque pitagórico, se infiere que el objetivo de la enseñanza de las matemáticas en la escuela Pitagórica es la iluminación y el entendimiento de las cosas. De esta manera las matemáticas dejan de ser considerada solamente como una herramienta y se convierten en una filosofía, doctrina y la forma de explicar todos los fenómenos.

  La idea de que en los números encontramos la respuesta a todo a permeado hasta nuestra era. Hoy en día existen varios grupos de personas que consideran que los números tienen un carácter místico y que puede ayudarnos a predecir el futuro; un ejemplo de ellos son los numerólogos.

Los inconmensurables

   Irónicamente el teorema que lleva el nombre de Pitágoras, sembró la semilla de la destrucción de su secta, pues al dividir el cuadrado de lado 1 en dos triángulos  trazando la diagonal principal del cuadrado generra dos triángulos rectángulos  que tienen como hipotenusa un segmento que mide la raíz cuadrada de 2. Los griegos mismos sabían que la raíz cuadrada de 2 no es conmensurable con la unidad. El anterior evento, no sólo condeno a la escuela Pitagórica, sino que sacudió a las matemáticas desde su fundación misma, pues la idea de división se basaba en los conmensurables.

  No es hasta que Eudoxo de Cnido hace un tratado completo sobre la teoría de proporciones que permite la división de los inconmensurables. Esto alivia al mundo matemático y se tiene certeza de que lo que se había hecho hasta entonces estaba bien.

  Este episodio se conoce como la primer crisis de las matemáticas. 

Los elementos

Al rededor del 300 a. de n. e. Euclides de Alejandría escribe Los elementos un conjunto de XIII libros dedicados a las matemáticas y a la geometría. Estos libros son una especie de estado del arte con la particularidad de que todos los resultados se obtienen a  través de un conjunto de objetos, suposiciones sobre ellos y reglas para manipularlos. Es decir, se pueden deducir de forma rigurosa, a partir de ciertas definiciones y un conjunto de reglas, todas las matemáticas existentes en su tiempo. Esto convierte a las matemáticas en una ciencia deductiva y modelo de las ciencias naturales.

   Como es de suponerse este cambio tiene un eco enorme en las matemáticas y su enfoque. Ahora las matemáticas son vistas como una serie de resultados que se obtienen a través de una maquinaría lógico-deductiva y en base a unas verdades evidentes. Lo cual hace que las matemáticas queden, en cierta medida, desprovistas de sus aplicaciones y tengan el potencial de elevarse más allá de lo que se necesita que hagan. Se empiezan a obtener resultados que parecen caprichosos y se buscan respuestas a acertijos como la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo, los cuales esperaron siglos; no para encontrar respuesta,  sino al contrario. Se demostró que no era posible hacerse en los términos en los que se habían planteado.

   Desde estos elementos las matemáticas son un arte lógico y una forma de generar pensamiento, en el mismo sentido que la filosofía y complementándola. Ahora el objetivo de las matemáticas no es sólo la aplicación de los conocimientos, también es el entendimiento de las cosas. Es una matemática para dar respuesta al universo y no  sólo para reproducirlo.

   Lamentablemente, el nuevo carácter dicotómico de las matemáticas genera un divorcio en el enfoque de las matemáticas y su enseñanza que perdura en diferentes medidas hasta nuestros días. 

   Por una parte las matemáticas del diario, las utilitarias que dan respuesta a los problemas de la vida cotidiana. Con las que repartimos las cosas, con las que calculamos y estimamos, con las que optimizamos.

    Por otro, las matemáticas abstractas, las que nacen en el seno de ellas mismas de forma natural por su esencia misma. Las que evolucionan automáticamente y en algunos casos se desprenden de todo traje terrenal para elevarse más allá del mundo y asentarse en un espacio formado de ideas e ideales, cada vez más abstracto y puro.

   No sólo existen puentes, sino que existen verdaderas nexos inseparables entre estos mundos. Sin embargo, las personas que han estado a cargo de la educación, han navegado entre uno y otro puente, y dependiendo del gusto del individuo (maestro), la educación se ha asentado en una sola de las vertientes, generando inclusive acaloradas discusiones como por ejemplo la vieja controversia que mantienen educadores y matemáticos de si las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son 4 operaciones diferentes o son solamente 2.

   Pero, lo más grave no es la discusión  es el daño que se le hace al estudiante cuando sólo se ve uno de los lados de la moneda: 

• Alumnos expertos en algoritmos y en demostraciones matemáticas que nunca han podido ver como se aplican y no saben cuales son los detalles que se deben de obviar o rescatar en las situaciones reales para poder aplicar sus herramientas matemáticas.
• Alumnos que pueden resolver problemas, pero con el uso de modelos demasiado rudimentarios que no se acercan lo suficiente a lo real como para dar respuestas validas.

  y esto, suponiendo que han sido bien enseñados...

Referencias:

Boyer, C. B., & Merzbach, U. C. (1991). A history of mathematics. New York: John Wiley & sons, inc.

Collette, J.-P. (2000). Historía de las matemáticas. México: Siglo veintiuno.

Murphy, N. (Dirección). (2005). The Story of 1 [Película].   www.youtube.com/watch?v=EHv3fJ6k6Xw‎

Pickover, C. A. (2012). El libro de las matemáticas. Madrid: Librero.