Un problema en el bachillerato: La falacia de la "perfección" matemática.

Temas: Matemáticas educativas, modelado matemático, error en los resultados, diferentes resultados para un mismo problema.

Hace poco, pensando en la educación matemática en mi país (México) y la triste situación de que nuestros docentes de nivel básico no tienen suficientes conocimientos, ni en didáctica ni en matemáticas, recordé un episodio de cuando estaba estudiando el bachillerato; él cual quiero compartir:

En el primer año la maestra de matemáticas (álgebra para bachillerato), nos dio en clase un problema parecido al siguiente:

• Un obrero puede construir una barda en 4 días. Un segundo obrero puede construir la misma barda en 5 días. Si la barda es construida entre los dos ¿cuánto tiempo tardan en construirla?

Yo llegue a la respuesta estándar, es decir, dado que el primer obrero tarad 4 días en terminar la barda, en un sólo día hará un cuarto de la barda. Igualmente, el segundo obrero en un día hará 1/5 de la barda. Si trabajan juntos, entonces ellos en un día harán 1/4+1/5=5/20+4/20=9/20 porciones de la barda. Luego, tardarán 20/9 días en terminar la barda. 

Por supuesto, no es bien visto hacer de esta forma el procedimiento, así que lo "traduje" al lenguaje algebraico de la siguiente forma:
1/4+1/5=1/x   =>   5x+4x=20   =>   9x=20   =>   x=20/9.

Un amigo mío, no optó por hacer esto, en su lugar el pensó de la siguiente forma:

"Si el primer obrero tarda 4 días y el segundo obrero tarda 5 días, en promedio los obreros tardan (4+5)/2=9/2 días en hacer la barda. Pero como son dos obreros construyendo la barda, les lleva la mitad de tiempo, es decir 9/4".

La maestra, acertádamente nos dijo que ambos estábamos bien, a pesar de que numéricamente los resultados eran distintos. En ese momento yo pensé en que mi resultado era el correcto pues utilice la metodología estándar. Sin embargo, comprendí que en realidad lo que estábamos haciendo en ambos casos era utilizar un trabajo medio; una media aritmética contra una media geométrica.

Si nos ponemos a analizar con un poco más de profundidad, nos daremos cuenta casi de inmediato que esos resultados son demasiado ideales, como si ambos obreros pudieran trabajar independientemente sobre la misma barda. Imagino que ambos son inmateriales, y sin embargo si pueden apilar de manera, que no pierdan nada de tiempo, los ladrillos que generan la barda en conjunto, entre otras situaciones inverosímiles. Entonces, los obreros trabajarán de manera diferente cuando estén en conjunto que individualmente y no podemos realmente saber cual es el tiempo que les toma hacer la barda en conjunto sólo sabiendo el tiempo que les toma hacer la barda individualmente.

  Sin embargo, dado que es una situación real a la cual tal vez nos interese, es un buen problema y en el sentido de resolver el problema, tanto mi amigo como yo habíamos resulto de forma correcto el problema (como la maestra había indicado). Ambos habíamos, entendido el problema, rescatamos la información que nos pareció pertinente para poder modelar el problema de forma matemática, generamos el modelo y resolvimos en el el problema, interpretamos el resultado.

  Nos suelen decir que las matemáticas son exactas (amén de las paradojas), pero en su interior. El mundo en el que vivimos puede ser modelado, pero sólo eso; modelado. No es un mundo matemático en el que las cosas son exactas, es un mundo real. las matemáticas utilizan abstracciones del mundo real para de ellas hacer inferencia, al menos las matemáticas aplicadas y si bien tenemos resultados, estos no siempre son congruentes con la realidad.

  Veamos un ejemplo: 

• Imaginemos que dejamos caer un objeto desde una altura de 9.81mts del suelo. ¿qué rapidez tendrá este objeto al pasar 10 segundos?

Si resolvemos este ejemplo con un modelo Newtoniano (con aceleración constante) sabemos que la rapidez esta dada por v=v0-gt, como lo dejamos caer su velocidad inicial es de 0mts/seg y la gravedad la tomaremos a nivel del mar, es decir 9.81mts/seg^2, luego tendremos que la velocidad a los 10 segundos es de:

V=0mts/seg-9.81mts/seg^2(10 seg)=-98.1mts/seg

Sin embargo, si nos detenemos a pensar un poco el problema, nos daremos cuenta que al pasar un segundo el objeto habrá chocado con el suelo... ¡Todo cambia en ese momento!. Tal vez rebote un poco el objeto, pero no puede rebotar durante 9 segundos, al menos no conozco algo que rebote tanto. Luego, la respuesta más cercana a de ser de 0mts/Seg; ¡claro!, suponiendo que el piso es liso por lo que el objeto no resbala, que la energía del rebote se disipa, que el objeto no cayo en ángulo sino totalmente vertical y muchos otros aspectos.

  ¿Qué opinan ustedes? ¿lo habían notado? ¿Qué experiencia pueden compartir?